Перельман и Пуанкаре
Сергей Смирнов
14 марта 2011 года Эйнштейну исполнилось бы 122 года. В этот день телеканал «Культура» впервые показал нашим зрителям телефильм «Чары гипотезы Пуанкаре». Спасибо японской компании NHK! Ибо российские журналисты и литераторы пока ничего удачного о математическом монахе из Петербурга создать не смогли. Правда, и японцам Григорий Перельман не дал прямого интервью. Даже от личной встречи со своим давним «тренером» — Александром Абрамовым — он вежливо уклонился. Видимо, понял, что встреча получится не личная, а публичная — под объективом телекамеры, под «шорох» магнитной ленты. Это не подобает никакому монаху: ни православному, ни католическому, ни буддийскому, ни математическому. Ибо задача монаха — духовно совершенствовать весь род людской. В той форме священного труда, которая дана ему от природы — а большинству людей, к сожалению, не дана. Ведь не каждый человек умеет взойти на Эверест или нарисовать икону, или написать житие праведника так, что даже грешники захотят это прочесть. Не каждый может сделать научное открытие и изложить его на языке, понятном хотя бы специалисту.
Перельману это удалось. Что именно удалось? И почему не удалось его предшественникам? Пожалуй, главная заслуга японских тележурналистов в том, что они дали цельный портрет пирамиды ученых геометров — от Анри Пуанкаре до Григория Перельмана. Вековой семейный портрет — с 1904-го по 2006 год, от великого призыва до пирровой победы. Не зря мудрый француз завершил свою статью 1904 года многозначительной фразой: «Обсуждение этого вопроса завело бы нас слишком далеко». После чего Пуанкаре оставил созданную им Топологию молодым. А сам вернулся в математическую физику, где его вскоре превзошел молодой Эйнштейн. После этого усталый Пуанкаре занялся философией и психологией науки. Но вскоре умер — в 58 лет. А что было с его наследниками?
Вдумчивые японцы сопоставили творческие биографии двоих «пуанкаристов»: грека Христоса Папакириякопулоса и немца Вольфганга Хакена. Оба отдали классической гипотезе Пуанкаре лучшие годы своей жизни, а она не отпустила их до самого конца. Но финал их жизни оказался разным. Грек-одиночка замкнулся в себе и умер от скоротечного рака, не оставив научным преемникам сколько-нибудь внятно оформленного наследия. Немец-семьянин был спасен от профессионального психоза («острого пуанкарита») веселой и дружной семьей, которая поныне успешно вытаскивает отца из приступов депрессии. Повезло человеку… А что было потом?
Потом пришел молодой американец Стефан Смейл. Он сообразил, что можно атаковать гипотезу Пуанкаре не в лоб, а сверху — сначала доказав ее аналог в больших размерностях. Это Смейлу удалось очень изящным геометрическим путем, так что изобретателю сразу пожаловали международную премию Филдса (1966). И он тут же вернулся из топологии многообразий к дифференциальным уравнениям, чтобы не было соблазна многократно проигрывать все ту же пластинку. Об этом седой и знаменитый Смейл кратко и честно рассказал японским журналистам.
Через 20 лет у Смейла появилась четверка энергичных наследников: два американца (Дональдсон и Фридман) и два немца — Кассен и Фрелих, которые придумали необходимую геометрическую конструкцию в размерности 4. В итоге четырехмерная гипотеза Пуанкаре также была побеждена и увенчана Филдсовской премией (1986). Но авторы фильма умолчали об этом. Почему?
Во-первых, не хватило времени: фильм длится всего один час. Во-вторых, неохота раньше ключевого момента вводить в игру физику. Ведь Саймон Дональдсон прославился прежде всего тем, что ввел в топологию из физики солитоны — особые решения уравнений квантовой теории, которые в корне изменяют геометрию физического вакуума.
И заодно порождают бесконечное семейство разных двойников 4-мерного евклидова пространства. Стоит об этом публично заикнуться — и аудитория будет увлечена. Но напрочь забудет об исходной гипотезе Пуанкаре и о каком-то нелюдимом Перельмане. Законы жанра не допускают таких вольностей!
Поэтому в японском фильме Дональдсон и Фридман остались в тени. Вместо них на авансцену вышел Вильям Терстон, во многом похожий на Стефана Смейла. Он тоже ставил задачу широко: хочу классифицировать все трехмерные многообразия так же, как Риман и Пуанкаре классифицировали все замкнутые поверхности! Среди разных поверхностей нашлись всего две неразложимые на более простые элементы: это тор и проективная плоскость. Сколько неразложимых элементов может быть в трехмерном случае?
Терстон угадал, что их не более восьми или даже семи, если верна гипотеза Пуанкаре. Но добить ее до конца Терстон не сумел и отложил в сторону свою восьмеричную гипотезу. Пусть ею займется следующее поколение геометров, алгебраистов и матфизиков! Все это моложавый еще Терстон рассказывает журналистам в кругу своей благополучной семьи: его, как видно, «острый пуанкарит» миновал. Не потому ли, что он успел вовремя (в 36 лет) получить премию Филдса? Теперь мудрый Терстон советует всем нам (особенно журналистам) с уважением отнестись к интеллектуальным порывам и душевным ранам тех, кто завершил покорение гипотезы Пуанкаре.
Вслед за вдохновенным Терстоном в эту область заглянул методичный Ричард Гамильтон. Следуя примеру Дональдсона, он начал изучать геометрию тех физических миров, в которые можно превратить трехмерные многообразия. Какие физические поля можно там ввести? Как они связаны с кривизною, хорошо знакомой еще Риману и Эйнштейну?
Результаты Гамильтона о «потоках Риччи» вызвали большой интерес среди геометров. Но ни один читатель не догадался тогда связать новые факты с древней гипотезой Пуанкаре. Пока в державный Принстон не приехал в начале 90-х годов скромный стажер из Петербурга по фамилии Перельман.
На родине он был широко известен в узких кругах — как чемпион многих школьных олимпиад по математике. По воспоминанию А.М. Абрамова, возглавлявшего тогда наши олимпиадные команды, Перельман умел решить почти любую задачу, предварительно полюбив ее. Не удивительно, если учесть, в каком свирепом математическом кружке вырос этот юноша и какую блестящую физматшколу он окончил. Потом был математический факультет ЛГУ. Затем — скромное рабочее место в Математическом институте на Фонтанке, который постперестроечные бюрократы переименовали в ПОМИРАН. Типун им на язык!
В свой черед подающий надежды геометр получил приглашение в заморский Принстон — к профессору Чигеру. Тот сразу понял, что молодой человек нуждается в моральной поддержке, но не в профессиональном воспитании. Он думает и пишет, как Моцарт, без лишних нот в основной мелодии. Докторская диссертация родилась через два года: она никак не была связана с гипотезой Пуанкаре. Потому что изначально геометр Перельман не имел склонности к топологии! Его интересовали аналитические, а не гомотопические свойства физических или геометрических миров. Так было, пока в Принстоне молодой доктор Перельман не прочел давнюю статью не знакомого ему Гамильтона о «потоках Риччи». Сперва она вызвала только интерес: как красиво этот автор преобразует друг в друга разные физические миры! Постепенно упрощая их…
Но ведь эдак можно и до простейшего мира дойти — сиречь, до трехмерной сферы! Или до одного из прочих многообразий Терстона. Неужели этот физический путь ведет к доказательству вековых геометрических гипотез? Великие надежды чередовались в уме Перельмана с великими опасениями; в таком смутном настроении он покинул Принстон и вернулся на берег Фонтанки. Здесь подспудная работа молодого ума затянулась еще на семь лет.
Отчего так долго? Да потому, что план великого доказательства довольно быстро рождается из немногих крупных блоков. Но потом каждый блок приходится разбирать на мелкие кирпичи: нет ли где-то «сухого» шва, не скрепленного цементом четкого рассуждения? Первопроходцы сплошь и рядом пропускают такие швы, и большинство читателей следуют их примеру, пленяясь красотою основного рассуждения. Но если путь ведет к великой цели, то никаких пробелов терпеть нельзя. Ведь каждый из них может сгубить и все рассуждение, и великую мечту. Не говоря уже о твоей научной репутации!
Почти так же мучился молодой Эйнштейн в многолетнем переходе от специальной к общей теории относительности. Или британец Эндрю Уайлз — когда он семь лет сочинял доказательство гипотезы Танияма, зная, что из нее вытекает Большая Теорема Ферма. Понятно, что в месяцы или годы такого подвижничества соискатель не расположен к душевной открытости. В институте на Фонтанке молодого буку Перельмана ценили и уважали, но не обожали. Так всякий, кто подальше брата видит, будет одинок среди своих.
В 2002 году великий труд завершился. Григорий Перельман изложил свои открытия в трех статьях общим объемом меньше сотни страниц. Вывесил эти тексты в Интернете: читайте все, кому это близко! И замолк в ожидании: кажется, что главное дело жизни сделано. Как отреагируют коллеги?
Их реакция была пестрой и неоднозначной. Многие «чистые» математики отказались разбирать тексты, написанные на простом английском языке, но густо пропитанные физической терминологией. Это — не наша наука; хорошее решение задачи нужно изложить на том же языке, на котором она была сформулирована!
Напротив, китайская молодежь сразу начала поиск ошибок в рассуждениях Перельмана. Не мог же российский романтик нигде не провраться! Два года искали, но ничего не нашли. Оказалось, что петербургский герой успешно сочетает русский размах фантазии с китайской въедливостью в деталях. Значит, он тихий гений вроде Гаусса или Римана. Надо его наградить премией Филдса, пока не поздно: ведь в 2006 году Перельману исполнится 40 лет!
Что и было сделано на Международном конгрессе в Испании. Да вот беда: Перельман отказался приехать в Мадрид за премией. И вообще уволился из Математического института. Теперь весь ученый мир знает о его успехе: честному математику этого довольно. А честному человеку излишняя слава не нужна, так ведь и Эйнштейн думал. Вдобавок Гамильтона знатные математики ничем не наградили, это нечестно со стороны Международного союза математиков! Вот и решил сорокалетний отшельник Перельман пренебречь деньгами и властью, никому ни в чем не исповедуясь. Кому дано понять это, тот поймет без слов. Иным же лучше ничего не знать.
И вот ютится наш гений-одиночка в маленькой квартирке на окраине Питера вдвоем со старушкой мамой. Подрабатывает репетиторством, живет на хлебе и молоке, как первые христианские отшельники. Городские власти не сообразили ни объявить Григория почетным гражданином Питера, ни назначить его маме повышенную пенсию. Как не вспомнить горькие слова матери Льва Ландау: «Я хочу, чтобы у меня был не гений, а сын!» Но от материнского хотения в этой сфере мало что зависит. Вдобавок Лев Ландау помог рассчитать ужасную бомбу и за это стал академиком, недосягаемым для чиновников и чекистов. Перельман же доказал безвредную математическую гипотезу: какое дело до этого его властным современникам? Или до того, что честный петербургский еврей не хочет покидать родной город во имя сытных заморских хлебов? Когда-нибудь его восславят в России как блаженного праведника.
Но пока это заметили только японцы. Спасибо им, и стыд нам!
ЗС 07/2011